Zusatzaufgabe 15

[Alexander88]

Ich finde die ist recht interessant und ein gutes Beispiel für die Verschiebung.
also wir haben eine komplexe Zahl
|z+1|=2
d.h. man stellt sich einen Kreis vor, der den Radius 2 hat und um 1 verschoben wurde und zwar nach LINKS.
Sein neuer Mittelpunkt ist nun die -1
in der Aufgabe haben wir aber eine Singularität bei -2
also machen wir es uns leicht und verschieben der Kreis noch ein Stück weiter nämlich soweit, dass sein Mittelpunkt bei -2 liegt.
Zufällig auch unsere Singularität.
Der Radius bleibt trotzdem noch gleich.
Deformationssatz undso^^

Bei K1 war der Radius jetzt 1 und die Singularität -2 d.h. sie liegt nicht im Kreis d.h. Kein Residuum d.h. 2 * pi * i * 0 = 0
Das Integral ist 0

Bei K2 hingegen liegen wir mit -2 ja eigentlich im Mittelpunkt, dank der Deformation.
Vorher lag -2 sagen wir auf der halben strecke zwischen linker Außenwand des kreises und Mittelpunkt.
Also spielt eine weitere Verschiebung HIER keine Rolle.

also
jetzt noch die e fkt als reihe geschrieben
und das integral ist nun


Jetzt ist nur noch die Frage welches bn nehmen wir ...
der exponent der (z+2) Fkt muss erzwungen der der Aufgabenstellung gleichen also n = 1

unser bn Therm ist dann unser Residuum ohne den Bruch natürlich
für n = 0 kriegen wir 1 für n = 1 kriegen wir -3
die beiden addieren ergibt -2
==> ((-2)²+4-2) * 1 * (-3)

6* -2 = -12

Int= 2*pi*i * -12 = -24pi * i

So genug geschrieben
Fragen Antworten und Verbesserungen bitte

[TimSz]

Jetzt ist nur noch die Frage welches bn nehmen wir ...
der exponent der (z+2) Fkt muss erzwungen der der Aufgabenstellung gleichen also n = 1

Ich versteh nicht ganz, was du da meinst.

Ich hab zuerst mal das Polynom umgeformt zu (z+2)²-6(z+2)+6, damit wir ein Polynom in (z+2) haben. Dieses können wir dann in die Summe integrieren, sodass wir dann jeweils für den Exponenten -1 die folgenden 3 Terme addieren können:


Ob das stimmt, weiß ich nicht; ich hab mir den Lösungsweg gerade ausgedacht.

[Alexander88]

klingt iwie auch schlüssig nur das Ergebnis nicht ^^
es muss nochn trick geben

[TimSz]

Warum das Ergebnis nicht? Gibt es da was offizielles?

[jacek]

Ich habe auch das raus, was Tim gerechnet hat. Ganz einfach deswegen:
Man kann nicht einfach das Residuum der E-Funktion dort ausrechnen und mit dem Polynom multiplizieren. Man zerlegt das in drei Laurent-Reihen (Wie Tim das auch gemacht hat) und bastelt sich daraus die Residuen. Das ist zwar manchmal ekelhaft, funktioniert hier aber gut.

Übrigens zu Tims Lösung: Du addierst die negativen Brüche zusammen und bekommst 49,5 raus - es müsste dann -49,5 sein.

[Alexander88]

cool danke

[TimSz]

Übrigens zu Tims Lösung: Du addierst die negativen Brüche zusammen und bekommst 49,5 raus - es müsste dann -49,5 sein.

Ja, so ist das, wenn man zu faul ist, das Minus in den Taschenrechner einzugeben und in den 3 Sekunden vergisst, dass man es noch mit hinschreiben wollte ^^

[elly]

wo gibts denn überhaupt zusatzaufgaben1?!?!?

[goofy]

\int_{|z+2|=2} \mathrm (z^2-2z-2) \sum_{n=0}^\infty{ \frac{(-3)^n }{n!} * \frac{1}{(z+2)^n}}\mathrm dx


Wieso steht da nun |z+2|=2? Ich hätte da =3 hingeschrieben.

[Alexander88]

vergiss bitter das [math und [/math nicht

wieso 3?
der radius der kugel bleibt ja gleich
deformationssatz !