5.2.2: Wenn man mit (4.38) vergleicht, ist
![E_m = \frac{-j\omega\mu}{p^2_{m,0}}F_{m}\frac{m\pi}{a}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?E_m = \frac{-j\omega\mu}{p^2_{m,0}}F_{m}\frac{m\pi}{a})
, also steckt der Faktor 2 vom
![p^2_{m,0}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?p^2_{m,0})
schon mit drin.
ich nehme an weil \kappa unendlich ist
Genau, in 5.1 und 5.2 ist nach Aufgabenstellung
![\kappa\to\infty](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\kappa\to\infty)
, in 5.3 wird dann ein Wert für
![\kappa](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\kappa)
angegeben.
5.2.4: Wir müssen
![E_{\text{ges}}(x,z) = E_1(x)e^{-j\beta_1z} + E_2(x)e^{-j\beta_2z}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?E_{\text{ges}}(x,z) = E_1(x)e^{-j\beta_1z} + E_2(x)e^{-j\beta_2z})
über
![z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z)
und
![x](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x)
maximieren. Zuerst können wir versuchen bei festem
![x](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x)
über
![z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z)
zu Maximieren: Dann haben wir zwei Terme mit festem Betrag und variabler Phase, sagen wir a und b, also
![a=E_1(x)e^{-j\beta_1z}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?a=E_1(x)e^{-j\beta_1z})
und
![b=E_2(x)e^{-j\beta_2z}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?b=E_2(x)e^{-j\beta_2z})
. |a+b| wird maximal |a|+|b|, zwar wenn a und b die gleiche Phase haben. Damit ist bei
![z=0](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z=0)
ein Maximum und das nächste ist beim kleinsten Wert
![z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z)
für den
![\angle e^{-j\beta_1z}=\angle e^{-j\beta_2z}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\angle e^{-j\beta_1z}=\angle e^{-j\beta_2z})
, also
![-j\beta_1z = -j\beta_2z + 2k\pi](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?-j\beta_1z = -j\beta_2z + 2k\pi)
, mit
![k \in \mathbb Z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?k \in \mathbb Z)
. Hier haben wir getrennt maximiert, zuerst über x und dann über z.
Man muss aber eigentlich gemeinsam über
![x](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x)
und
![z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z)
Maximieren. Auf die Idee, dass das Maximum bei einem anderen
![x](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x)
liegt kommt man wohl erst wenn man die Aufgabenstellung von 5.2.5 liest. Jetzt muss man darauf kommen, dass wegen der Symmetrie entlang
![x](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x)
gilt:
![\max_{x,z}|a+b| = \max_{x,z}|a-b|](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\max_{x,z}|a+b| = \max_{x,z}|a-b|)
. Darauf kommt man wohl nur mit einem Skizze von a und b über x, wie in der RÜ2008 bei 5.2.5. Also maximieren wir jetzt
![|a\pm b|](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?|a\pm b|)
über
![z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z)
. Das geht wie oben, aber der potentielle Vorzeichenwechsel bewirkt
![\pi](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\pi)
Phasendifferenz. Also suchen wir das kleinste
![z>0](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z>0)
mit
![-j\beta_1z = -j\beta_2z + l\pi + 2k\pi](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?-j\beta_1z = -j\beta_2z + l\pi + 2k\pi)
, wobei
![k \in \mathbb Z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?k \in \mathbb Z)
und
![l=0](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?l=0)
für |a+b| und
![l=1](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?l=1)
für |a-b|. Das vereinfacht sich zu
![-j\beta_1z = -j\beta_2z + n\pi](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?-j\beta_1z = -j\beta_2z + n\pi)
mit
![n \in \mathbb Z](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?n \in \mathbb Z)
, was nach einer Umformung dann auch in deinem Post steht. Anders gesagt, die Phasendifferenz muss nur ein Vielfaches von
![\pi](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\pi)
sein, nicht von
![2\pi](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?2\pi)
. Wegen
![\beta_1>\beta_2](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?\beta_1>\beta_2)
und
![z>0](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?z>0)
ergibt sich dann
![n=-1](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?n=-1)
.
5.3.2: Bei der Umwandlung von Dezibel in einen Zahlenwert hast du glaube ich einen Faktor 10 vergessen, also du hast mit
![x=10^{x_{\mathrm{dB}}}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x=10^{x_{\mathrm{dB}}})
anstatt von
![x = 10^{x_{\mathrm{dB}}/10}](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?x = 10^{x_{\mathrm{dB}}/10})
gerechnet.
In erster Näherung ist alles linear.