Möbiustransformation

[Lecter2k]

Kann mir denn jemand bei der B14 den ersten Schritt bzw den Gedankengang erklären,..
oder platt gesagt: wie kommen die von "Halbkreis" zu "zweiter Quadrant"?

Die Formel für die Möbiustransformation ist ja




Also haben wir
W"ahle z.B. a=1, so gilt
Hoffe das ich mir das alles so richtig gedacht hab^^

[Xserio]

ich habe was im Kopf, dass er Möbius und komplexen Logarithmus rausnehmen wollte...?!

[Zero]

Logarithmus ja, aber zur Möbius Trafo hatte er extra bei einer Aufgabe in der Vorlesung gesagt,
dass das doch eine faire Klausuraufgabe wäre. Hab ich mir extra drangeschrieben. Also vorsicht
auch wenn es nicht in der Probeklausur drankam. Wann soll er das denn gesagt haben?

[AlexG]

beu uni ist hirnlos ist eine Abschrift von A19, da wurde aus |y|=2 -> |y+i|=2 (Integralgrenze) um damit dann über den Integralsatz anzuwenden, nur warum darf man das ??

Die Frage stelle ich mir auch, denn im Deformationssatz steht nur etwas von holomorphen Funktionen, und die Funktion in A19 ist meiner Meinung nach nicht holomorph, genauso wenig wie f(z)=(1/z), welche auf Seite 27 im Skript verwendet wird, um den Satz zu erklären... oder täusche ich mich?

[old]

Also der Satz über die Deformation sagt doch aus, dass man eine holomorphe funktion , die in einem gebiet holomorph ist und man über dieses gebiet bzw. eine kurve, die dieses gebiet umfasst, integriert, beliebig verschieben kann, solange die funktion dort noch holomorph ist.
Denn dann bleibt das integral weiterhin 0 (nach CIS).

Dasselbe gilt dann in der CIF Formel für nicht holomorphe funktionen.

Auf Seite 30 im Script steht ein Beispiel.
Dort wird die Funktion PBZ zerlegt und danach CIF angewendet.

Der Kreisbogen wird "deformiert" , schließt aber weiterhin die singularität ein.
Dann wird an dieser Stelle per CIF ausgerechnet.
Wichtig ist denke ich nur, dass man weiterhin die Singularität in der Kreisscheibe hält.

[Alexander88]

Möbiustrafo kommt immer noch nicht dran

[AlexG]

Also der Satz über die Deformation sagt doch aus, dass man eine holomorphe funktion , die in einem gebiet holomorph ist und man über dieses gebiet bzw. eine kurve, die dieses gebiet umfasst, integriert, beliebig verschieben kann, solange die funktion dort noch holomorph ist.
Denn dann bleibt das integral weiterhin 0 (nach CIS).

Dasselbe gilt dann in der CIF Formel für nicht holomorphe funktionen.

Auf Seite 30 im Script steht ein Beispiel.
Dort wird die Funktion PBZ zerlegt und danach CIF angewendet.

Der Kreisbogen wird "deformiert" , schließt aber weiterhin die singularität ein.
Dann wird an dieser Stelle per CIF ausgerechnet.
Wichtig ist denke ich nur, dass man weiterhin die Singularität in der Kreisscheibe hält.

Man kann die Kurve deformieren, solange sie im Gebiet bleibt. Damit das Integral den Wert 0 hat, muss zusätzlich das Innere der Kurve zum Gebiet gehören.

Die Deformation verlangt eine holomorphe Funktion, was (1/z) nicht ist, und trotzdem wird sie darauf angewandt. Oder ist (1/z) abgesehen von der offensichtlichen Singularität bei 0 doch holomorph? Wenn ja, kann mir jemand zeigen, warum?

[AlexG]

Eine weitere Frage hat sich gerade bei mir noch ergeben: In A17 verwenden wir für das zweite Teilintegral (über den Kreisbogen) die Abschätzung |int{ f(z)dz }| <= int{ |f(z)|dz }. Auf Seite 24 im Skript wird genau diese Abschätzung (unter "BEWARE") verboten. Wurde sie während der Übung irgendwie doch rechtfertigt oder habe ich was übersehen?

[old]

@Alex,

also, wenn du entlang einer Kurve mit Radius 1 oder Radius 3 integrierst und dabei die Singularität einschließt, kannst du CIF anwenden.
Du kannst den radius auch vergößern.
Damit kommt dann i*2*Pi raus.
(Bezogen auf die Funktion 1/z ).



Auf Seite 30 im Script gibts sowas ähnliches.

Da ist halt erst eine Funktion gegeben. Dann teilt man die per PBZ auf.
Vorher würdest du mit einer Kurve mit Radius 3 über alle Polstellen "streichen".
Du versuchst das ganze nun nach CIF umzuformen.

Also musst du beim integrieren darauf achten, dass deine Kurve die Singularität einschließt.
(was ja offensichtlich nach der umformung der Kurve gegeben ist).

[Stephan]

Die Deformation verlangt eine holomorphe Funktion [...]

wo hasn du das her?
ich würde sagen die musst abgesehen von der Singularität, an der wir sie im endeffekt auswerten, holomorph sein.