B.Sc./M.Sc. Elektrotechnik an der RWTH

Hey,

ich hab gerad nochmal die B24 gerechnet ... allerdings diesmal ohne Gauß, allerdings kam da nicht das erhoffte raus ^^

ich hab dirket mal Polarkoordinaten drauf losgelassen:
$x=r*cos(\phi) y=r*sin(\phi)$

$\Rightarrow r^4 = a^2*r^2*(cos^2(\phi)-sin^2(\phi)) = a^2 r^2 cos(2 \phi) \quad \wedge \quad x=r cos(\phi) > 0 \Rightarrow G=\{ | r | < a*sqrt(cos(2 \phi)) \quad \wedge \quad r cos(\phi) > 0 \}$
nun war ich mir nicht sicher wie ich das genau beschreibe...wenn immer r>0 wäre ist das noch recht einfach, aber ist das überhaupt so ? woran sehe ich das?

ich habs einfach mal angenommen:
$r>0 \Rightarrow G= \{ 0 < r < a*sqrt(cos(2 \phi)) \quad \wedge \quad -\pi/2 < \phi < \pi/2 \}$

doch wenn ich dann über $cos(2 \phi)$ integriere kommt direkt 0 heraus:
$\int_G r *dr*d\phi = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} a^2/2*cos(2 \phi) = 0$

(In der Lösung mit Gauß haben die auch von $-\pi/4$ bis $\pi/4$ integriert...aber warum? )

Wo ist denn der Fehler in der Rechnung? darf ich überhaupt r>0 annehmen? Wenn nicht müsste ich da stückweise integrieren, weil ich ja dann einmal $cos(\phi) >0$ und einmal für r<0 $cos(\phi) <0$ annehmen muss, oder?

r muss doch eigenltich größer null sein weil x größer null sein soll, und wäre der cosinus negativ würde der teil unter der wurzel in jedem fall negativ werden... denke mal damit ist das doch festgelegt oder?? und die haben meiner meinung nach genau aus diesem grund über -pi/4 - pi/4 integriert damit die wurzel eben nicht null wird und somit x = 0 wäre, was nach definition nicht zulässig ist.

war jetzt alles etwas umständlich formuliert aber hoffe dass es dir trotzdem weiterhilft;)

ehm was r>0 angeht:
soviel ich weiß muss das doch immer größer 0 sein. ist ja schließlich der radius.

ahh okay...danke !

aber was soll dann der hinweiß, dass x>0 sein soll ? daraus kann ich ja garkeine informationen gewinnen oder ?

Hm, also wenn man sich das auf WolframAlpha mal anschaut (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... B2-y%C2%B2) wird auf jeden Fall klar, warum man nur von -pi/4 bis pi/4 integrieren kann. Und x>=0 ist wichtig, da nur der rechte Teil der "Schlaufe" betrachtet werden soll. Das mit der Wurzel leuchtet auf jeden Fall ein, aber warum sowas überhaupt passieren kann ist mir gerade auch ein Rätsel.

Hi,

also wenn ich es ohne Gauß ausrechne komme ich auf a^2.
Was ja genau der gesamten Fläche (´(ohne x beschränkung) entspricht.

Ich glaube ohne Gauß hat man einfach das Problem, dass man das mit dem x>0 nicht berücksichtigt.

also wenn ich anstatt wie oben nur von $-\pi/4 < \phi < \pi/4$ integriere komm ich auf $a^2/2$ was ja auch stimmt...

Als ich die Aufgabe gesehen habe, hab ich garnicht an Gauß gedacht :-/

wie kommt man eingentlich darauf, dass
$\int_G 1 \quad dx dy = \int_{dG} 1/2*x dy - 1/2*y dx$
ist ?

wenn
$f= \begin{pmatrix} x/2 \\ y/2 \end{pmatrix} \rightarrow div(f) = 1 \int_{dG} \begin{pmatrix} x/2 \\ y/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} dy \\ -dx \end{pmatrix} = 1/2 \int_{dG} x*dy - y*dx$
aber warum ist $d \vec x =\begin{pmatrix} dy \\ -dx \end{pmatrix}$ und nicht $\begin{pmatrix} dx \\ dy \end{pmatrix}$ ?

Sorry, hatte mich um den faktor 2 geirrt.
Kommt also raus.

Also herleiten kann ich dir den Satz selber nicht, aber:

Du darfst die " 1*dy*dx" als (0,5 + 0,5 )*dy*dx schreiben.
Damit hast du für das Integral über das Gebiet jeweils die beiden Ableitungen von a und von b.
Dann integrierst du das ganze und erhälst a=0,5x und b=0,5y .
Und das setzt du dann in die Form über die Kurve ein.

Wieso bin ich der Meinung, dass die Musterlösung falsch ist???
Wo er x abgeleitet hat, steht doch x' = - ( a*sin(2phi)*cos(phi) ) / wurzel(cos(2phi)) - a*wurzel(cos(2phi))*sin(phi)
wohlbemerkt zwei negative Terme

zwei zeilen später in das integral eingesetzt, steht für dx aufeinmal (- ....... + .......)
hab ich da was übersehen und die lösung ist eigentlich richtig?

Stephan hat geschrieben:aber was soll dann der hinweiß, dass x>0 sein soll ? daraus kann ich ja garkeine informationen gewinnen oder ?

natürlich kannst du daraus informationen gewinnen

das ganze hat einen einfluss auf phi.
wenn du nur den positiven bereich von x betrachtest, läuft phi nicht mehr den gesamten kreis ab (0 bis 2pi), sondern nur noch von (-pi/2 bis pi/2).

hinzu kommt jedoch später noch eine andere information, was deine nächste frage beantworten sollte:

Stephan hat geschrieben:In der Lösung mit Gauß haben die auch von -\pi/4 bis \pi/4 integriert...aber warum?

r = a*sqrt(cos(2phi))

Da r nicht definiert ist für -pi/2, wegen sqrt(cos(-2*pi/2)) = sqrt(-1), muss der bereich geändert werden zu 2phi = pi/2 => phi = pi/4 und phi = -pi/4

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B24

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