Hallo
Ich habe bei B14 das Probem, dass ich erst nach y aufleiten will und dann nach x ,also 0<x<1 und x^2<y<Wurzel(x) als Grenzen habe. Die ML macht erst x und dann y. Da kommt aber nicht das gleiche Ergebnis raus. In meinen Unterlagen finde ich keine konkrete Aussage, wann ich die Grenzen vertauschen darf, und wann nicht. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
Anne
Gebietsintegrale - Wann Grenzen vertauschen?
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mailerdaimon
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Re: Gebietsintegrale - Wann Grenzen vertauschen?
Hallo,
also du kannst die Grenzen eigentlich immer tauschen wie du willst, wichtig ist nur dass, das äußere Intergral feste Werte hat!
D.h. wenn du jetzt z.b. über ein Gebiet 0 < x < 2 , 0 < y < x die Funktion x Integrieren willst musst du dydx machen damit du am Ende keine Variable mehr über hast.
Zu deinem konkreten Problem:
du kannst auch 0 < x < 1 , x^2 < y < sqrt(x) integrieren
dann musst du aber auch dydx einhalten und hast nach auflösen des integrals über y: int von 0 bis 1 (sqrt(x) * (x - x^2)) dx
Ab da ist nur noch ausrechnen angesagt
Hoffe das hilft dir weiter
mfg
also du kannst die Grenzen eigentlich immer tauschen wie du willst, wichtig ist nur dass, das äußere Intergral feste Werte hat!
D.h. wenn du jetzt z.b. über ein Gebiet 0 < x < 2 , 0 < y < x die Funktion x Integrieren willst musst du dydx machen damit du am Ende keine Variable mehr über hast.
Zu deinem konkreten Problem:
du kannst auch 0 < x < 1 , x^2 < y < sqrt(x) integrieren
dann musst du aber auch dydx einhalten und hast nach auflösen des integrals über y: int von 0 bis 1 (sqrt(x) * (x - x^2)) dx
Ab da ist nur noch ausrechnen angesagt
Hoffe das hilft dir weiter
mfg
Re: Gebietsintegrale - Wann Grenzen vertauschen?
Also wenn man das nach deiner Methode macht, kommt auch das gleiche Ergebnis raus:
![$G=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2;0<x<1,x^2<y<\sqrt{x}\}\\
\int\limits_G \sqrt{x}dxdy=\int\limits_0^1 \int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}} \sqrt{x}dydx\\
=\int\limits_0^1 \left[\sqrt{x}\cdot y \right]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx=\int\limits_0^1 [\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}-\sqrt{x}\cdot x^2]dx=\int\limits_0^1 x-x^{\frac{5}{2}}dx=\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{3}{14}$](http://www.forkosh.com/mathtex.cgi?$G=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2;0<x<1,x^2<y<\sqrt{x}\}\\
\int\limits_G \sqrt{x}dxdy=\int\limits_0^1 \int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}} \sqrt{x}dydx\\
=\int\limits_0^1 \left[\sqrt{x}\cdot y \right]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx=\int\limits_0^1 [\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}-\sqrt{x}\cdot x^2]dx=\int\limits_0^1 x-x^{\frac{5}{2}}dx=\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{2}{7}=\frac{3}{14}$)