Klausur H09

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Cya
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Klausur H09

Beitrag von Cya » Do 14. Jun 2012, 14:34

hey,
kann mir jemand vielleicht sagen, wie man auf die Impulsantwort h2(t) kommt?

mgeis
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Re: Klausur H09

Beitrag von mgeis » Do 14. Jun 2012, 15:12

Ich denke mal du meinst die Aufgabe 1.4 in der Klausur vom 08.10.2009, also Termin 09H2...

Am besten überlegt man sich was das System überhaupt anstellt. Als Eingangssignal in das LTI-System hat man ein Rechteck, dass für t zwischen 0 und 2 ungleich Null ist. Am Ausgang hat man ein Rechteck dass von t=0 bis t=1 geht. Also muss unser System das Rechteck um den Faktor 2 verschmälern. Eine einfache Operation wie g(t) = s(2*t) fällt mir da zuerst ein, das wäre aber kein LTI-System, also muss man sich etwas anderes Ausdenken.

Das Eingangssignal besteht aus zwei Rechtecken der Breite 1 im Abstand 1, aus denen man einen Rechteck der Breite 1 erstellen will. Wegen der Linearität muss unser LTI-System also aus zwei Dirac-Impulsen im Abstand 1 einen einzelnen Dirac-Impuls erstellen. Wir brauchen also das inverse System zu h(t) = \delta(t) + \delta(t-1). Im z-Bereich hat man also H_2(z) = \frac{1}{1+z^{-1}} = \frac{1}{1-bz^{-1}} mit b=-1. Per Tabelle haben wir also h_2(n) = b^n \varepsilon(n) = (-1)^n \varepsilon(n), was im zeitkontinuierlichen Bereich der Dirac-Folge mit abwechselnden Gewichten +1 und -1 entspricht. Symbolisch: h_2(t) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\delta(t-n).

Der Knackpunkt ist also, dass man erkennt, dass das "breite Rechteck" am Ausgang dem Eingangssignal plus einer verzögerten Kopie des Eingangssignals entspricht. Danach kommt man auf die Impulsantwort entweder mathematisch wie oben oder indem man es sich bildhaft vorstellt: Man hat eine unendliche Reihe an überlagerten Rechtecken, wo jedes Rechteck jeweils das Vorzeichen invers zum vorherigen Rechtecks hat. Jedes Rechteck hebt die rechte Hälfte des vorherigen Rechtecks weg, bis ins unendliche. Beim ersten Rechteck bleibt die linke Hälfte stehen, was gerade das erwünschte Ausgangssignal g_2(t) ist.
In erster Näherung ist alles linear.

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