Grenzflächenladung

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Quito
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Grenzflächenladung

Beitrag von Quito » Di 31. Dez 2013, 12:28

Weiß jemand, wann genau an der Grenzfläche zwischen zwei Stoffproben eine Flächenladung o_e ungleich 0 auftritt und woran ich dies erkenne?
Mir begegnen immer wieder Fälle, wo es mal eine gibt, mal keine.

Danke für die Hilfe:)!

mgeis
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Re: Grenzflächenladung

Beitrag von mgeis » Sa 4. Jan 2014, 15:49

Das folgt aus den Stetigkeitsbedingungen (Grenzflächenbedingungen).

[1] div D = ρ, also gilt an Grenzflächen (mit ρ -> ∞) Div D = σ_e.
[2] div rot H = 0 = div (J + d/dt D) = div J falls stationär. Wenn div J = 0 muss auch Div J = 0.[a][c]

Das D-Feld folgt aus der Ladungsverteilung. Mit D/ε folgt das E-Feld. Mit E*σ folgt J. Wegen [2] muss an der Grenzfläche die Normalkomponente von J stetig sein. Wenn σ/ε auf beiden Seiten der Grenzfläche ungleich ist, muss also D springen. Wegen [1] kann D an der Grenzfläche nur springen, wenn σ_e != 0, also wenn eine Grenzflächenladung vorliegt.

Den Fall gibt es auch mit Raumladung ρ anstatt von Flächenladung σ_e. div J = div (σ/ε*D) = 0, also D * grad(σ/ε) + div D * σ/ε= 0.[d] Mit div D = ρ ist ρ = -ε/σ * D * grad(σ/ε) [3]. Im Grenzübergang ergibt sich Div D = σ_e.[e][f]

tl;dr: Wenn σ/ε auf beiden Seiten der Grenzfläche anders ist, gibt es eine Grenzflächenladung.
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Fußnoten:
[a] div rot H = 0, da div rot X = 0 generell gilt.
Wenn man die Hüllfläche für ∯D dA = ∭ρ dV (div D = ρ) unendlich dünn macht, bleibt keine Ladung mehr eingeschlossen, es sei denn ρ -> ∞, wie z.B. bei einer Flächenladung.
[c] Wenn in der Hüllfläche für ∯J dA = 0 (div J = 0) keine Quellen für J vorhanden sind, sind erst recht keine Quellen in einer unendlich dünnen Hüllfläche vorhanden. Also ist Div J = 0.
[d] Produktregel mit f Skalar, g Vektor: div(f*g) = f*div(g) + g*grad(f)
[e] Div D = D_2n - D_1n = σ_e = σ_2/ε_2 * J_2n - σ_1 / ε_1 * J_1n. Mit J_2n = J_1n (Div J = 0), σ_e = (σ_2/ε_2 - σ_1/ε_1) * J_n = (σ_2/ε_2 - σ_1/ε_1) * [D_n * ε/σ] [4]. Im Term in eckigen Klammern kann entweder Gebiet 1 oder Gebiet 2 betrachtet werden, da J_n stetig ist.
[f] Sagen wir, die Dicke der Grenzschicht ist δ. Dann ist auf der Grenzschicht ρ = σ_e / δ, und der Gradient ist grad(σ/ε) = (σ_1/ε_1 - σ_2/ε_2) / δ. Damit kann im Grenzübergang in Gleichung [3] das δ gekürzt werden, und es ergibt sich Gleichung [4].
In erster Näherung ist alles linear.

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