[DBV 2] Filteroptimierung

[Herr Vorragend]

Beschäftige mich gerade mit der Filteroptimierung im Foliensatz 3 zur Diffusion. Auf den Seiten 1-28 habe ich noch ein paar Fragen.

Die Problematik an sich glaube ich grob zu verstehen: Man hat eine eindimensionale Struktur, die in Richtung des Parametervektors geglättet werden soll. Jeder Punkt weist einen Strukturtensor auf, dessen einer Eigenwert nahe Null sein soll, was ja letztlich diese eindimensionale Strukur begründet. Ein Eigenwert Null, dh. Gradient nur in eine Richtung --> eindimensionale Struktur.

Dafür soll ein konsistenter optimierterFilter generiert werden, der bestmöglich in Richtung des Parametervektors glätten soll. Man setzt eine kontinuierliche Referenzfunktion an und eine diskrete Ansatzfunktion, die durch Variation der h-komponenten des FIR-Filters bestmöglich an die Ansatzfunktion heranreichen soll. Dh. Fehlerminimierung der gewichteten L2Norm von Differenz der Ansatz und Referenzfunktion. Alles klar, man erhält nun auf Seite 23 die h Werte von Matlab für den Filter, jeweils für den Ableiter und den Glätter. Hier versteh ichs leider nicht mehr.

Was macht der Ableiter?
Wie sieht der Filter ungefähr aus? Ich kann mir das garnicht vorstellen. Wo ist hier der Ableiter und wo der Glätter zu finden?

Wie sind die Aussagen von Herr Scharr zu verstehen:(video 19.04 ab 32:20)
- "in x und y Richtung muss gleich gelättet werden, um Richtunggsfehler zu kompensieren"
- "Der Glättungsfilter wird abgeleitet ( also mit mutlipliziert), um Ableiter und Glätter zu vergleichen"

Wäre wirklich dankbar für eine Aufklärung!

[Burek]

nehmen wir mal an, dass der filter, der die ableitung in x-richtung realisieren soll, folgendermaßen aussieht: [-0.5 0 0.5] (wie auf folie 23). dann ist die übertragungsfunktion dieses filters ein sinus. die übertragungsfunktion meines kontinuierlichen operators, der ableitung, ist i \pi k. also letztenendes proportional zu k. du kannst jetzt den sinus auch darstellen als k * sin(k)/k. die übertragungsfunktion des diskreten filters setzt also sich zusammen aus einer ableitung, wie im kontinuierlichen fall, die dann noch mit einem si multipliziert wird. die multiplikation mit dem si im fourierraum (oder faltung mit rect im ortsbereich, wenn dir das lieber ist) ist ein tiefpass, bzw eine glättung. bedeutet: wenn du deinen diskreten filter anwendest, um dir die ableitung in x-richtung zu berechnen, glättest du dabei auch noch das bild in x-richtung. glättung bedeutet hier eine multiplikation deines spektrums mit werten <= 1. wenn du das nur entlang der x-richtung machst, verändern sich die richtungen der vektoren, die du zu bestimmen versuchst. nimm als bsp einen beliebigen vektor, multiplizier eine beliebige komponente ungleich null mit 0.5 und der vektor zeigt auf einmal woanders hin. deshalb musst du in y-richtung genauso glätten, wie in x-rcihtung. dann bekommst du unter umständen zwar einen betragsfehler, was die vektoren angeht, allerdings interessiert dich ja nicht der betrag sondern die richtung.
zum thema der glättungfilter wird abgeleitet: nehmen wir dasselbe beispiel von vorhin: die übertragungsfunktion meines diskreten filters sei sin(k) = k * sin(k)/k. der glättungsfilter wäre hier also ein si. wenn du den nun ableitest, also mit i\pik multiplizierst, bekommst du deinen ableitungsfilter. das ist der optimalfall. wenn du den glättungsfilter ableitest, sollte dein ableitungsfilter rauskommen. auf seite 24 sind dazu auch ein paar plots gegeben.
ich hoffe ich konnte dir damit was weiterhelfen.

[Herr Vorragend]

Ja, vielen Dank! Das hat mir bezüglich den Kommentaren von Herrn Scharr eine Idee gegeben.
Ich hab aber wahrscheinlich gröbere Probleme. Man bekommt die h-Komponenten für den Derivator(Ableitung) und die Identity(Glättung). Diese werden dann miteinander gefaltet, um den fertigen Filter zu erhalten, wie im dreidimensionalen Fall angedeutet (Seite 17 unten). Also haben wir schließlich einen 2 dimensionalen 3x3 Filter, der Derivator und Identity beinhaltet. Korrigier(t) mich, falls nötig.

Jetzt sehe ich da aber nicht die Lösung für das Problem raus. Unser Problem war es ja entlang der Kanten zu glätten.*

Wieso muss jetzt gleichmäßig in x und y Richtung geglättet werden?
- Das sich dann der Vektor verschiebt sehe ich ein, aber gleichmäßige Glättung hört sich bezüglich dieser Problematik (siehe *) schon komisch an.

Wieso steckt in unserem Filter ein Ableiter?
- Bei Ableiter denke ich an Kantenhervorhebung, was hier doch unrelevant ist.

[r0n1N]

Das Beispiel der Filteroptimierung hat er meines Wissens nach für die Ableitungsfilter gemacht, die du für die Orientierungsschätzung brauchst. Da ist noch nichts mit Diffusion drin. Das wird zwar hinterher bei der Diffusion genutzt, weil wir ja die Strukturtensoranalyse machen und damit ja "gute" D-Matrizen bestimmen, aber erst einmal sind die Vorgestellten optimierten Ableitungsfilter nur dazu gedacht möglichst optimal Richtungen schätzen zu können. Die werden dann beim Strukturtensoransatz an der Stelle benutzt, wo du die , und berechnest (Foliensatz 3 - Folie 10).